آموزش ریاضی

آنچه در این صفحه می خوانید:

معرفی ریاضیات

ریاضیات تعریف کاملاً پذیرفته شده ای ندارد. ارسطو ریاضیات را "علم کمیت" تعریف کرد و این تعریف تا قرن 18 میلادی غالب بود. در قرن نوزدهم، هنگامی که مطالعه ریاضیات به شدت افزایش یافت و شروع به پرداختن به مباحث انتزاعی مانند نظریه گروه و هندسه پروژکتیو نمود، که هیچ ارتباط مشخصی با کمیت و اندازه گیری ندارند، ریاضیدانان و فیلسوفان شروع به ارائه انواع تعاریف جدید کردند. سه نوع برجسته از تعاریف ریاضیات امروزه تحت عنوان منطق گرا، شهودگرا و فرمالیست نامیده می شوند که هر یک مکتب فکری فلسفی مختلفی را منعکس می کنند.

تعریف اولیه ریاضیات از نظر منطق به نقل از بنیامین پیرس (1870) عبارت بود از "علمی که نتیجه گیری های لازم را می دهد". گروهی برنامه فلسفی موسوم به منطق را پیش بردند و کوشیدند ثابت کنند که همه مفاهیم، اصطلاحات و اصول ریاضی را می توان با توجه به منطق نمادین تعریف و اثبات کرد. تعریف منطقی از ریاضیات به نقل از راسل (1903) عبارت است از "همه ریاضیات منطق نمادین است."

تعاریف شهود گرایانه، که از فلسفه ریاضیدان L. E. J. Brouwer ناشی می شود، ریاضیات را با پدیده های ذهنی خاصی مشخص می کند. نمونه ای از یک تعریف شهودی می گوید: "ریاضیات فعالیت ذهنی است که در انجام سازه ها یکی پس از دیگری تشکیل می شود". یک ویژگی شهودگرایی این است که برخی از عقاید ریاضی مطابق با تعاریف دیگر معتبر را رد می کند. به ویژه، در حالی که فلسفه های دیگر ریاضیات اجازه می دهد تا اشیاء اثبات شود که حتی اگر امکان ساخت آنها وجود نداشته باشد، شهود گرایی فقط اشیاء ریاضی را امکان پذیر می کند که در واقع می توان آنها را ساخت.

تعاریف فرمالیستی ریاضیات را با نمادهای آن و قوانین عملکرد بر روی آنها مشخص می کند. هاسکل کوری ریاضیات را صرفاً به عنوان "علم سیستم های رسمی" تعریف کرد. یک سیستم رسمی مجموعه ای از نمادها یا نشانه ها و برخی از قوانین در مورد چگونگی ترکیب توکن ها در فرمول هااست. در سیستم های رسمی، واژه axiom معنای خاصی با معنای عادی "یک حقیقت خود آشکار" دارد و از آن برای ترکیبی از نشانه ها استفاده می شود که در یک سیستم رسمی مشخص گنجانده شده است بدون اینکه نیازی به مشتق شدن با استفاده از قوانین سیستم باشد.

بسیاری از ریاضیدانان حرفه ای بزرگ هیچ علاقه ای به تعریف ریاضیات ندارند و آن را غیرقابل توصیف می دانند. حتی در مورد اینکه ریاضیات یک هنر است یا یک علم است، اجماع وجود ندارد. برخی فقط می گویند "ریاضیات همان کاری است که ریاضیدانان انجام می دهند."

ریاضیات در بسیاری از زمینه ها از جمله علوم طبیعی، مهندسی، پزشکی، دارایی و علوم اجتماعی بسیار ضروری است. ریاضیات کاربردی به رشته های ریاضی کاملاً جدید مانند آمار و نظریه بازی منجر شده است. ریاضیدانان بدون داشتن هیچ گونه برنامه در ذهن خود در ریاضیات خالص (ریاضیات به خاطر خودشان) مشغول هستند، اما برنامه های کاربردی عملی برای آنچه که به عنوان ریاضیات خالص شروع شد بعداً کشف می شوند.

مباحث ریاضی به دسته های ذیل تقسیم می شود:

  • کمیت: مانند مجموعه، رابطه، تابع، اعداد حسابی و غیره
  • ساختار: مانند جبر خطی، جبر مجرد، نظریه اعداد و غیره
  • فضا: مانند هندسه، مثلثات، هندسه جبری، هندسه دیفرانسیل و غیره
  • تغییر: حسابان، معادلات دیفرانسیل و غیره
  • پایه‌ها و روش‌های ریاضیات: مبانی ریاضیات، فلسفه ریاضیات و غیره
  • ریاضیات گسسته: نظریه رایانش، نظریه گراف و غیره
  • ریاضیات کاربردی: آمار، احتمالات، مکانیک، آنالیز عددی و غیره
نظرتون درباره این نوشته چیه؟ عالیه بد نیست خوب نبود